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Maryna Viazovska : une figure emblématique de la mathématique moderne
En juillet 2022, Maryna Viazovska, une mathématicienne ukrainienne, a été honorée par la prestigieuse Médaille Fields, souvent comparée au prix Nobel des mathématiques. Cet événement a été particulièrement marquant car elle n'était que la deuxième femme à recevoir cette distinction en 86 ans. De plus, sa reconnaissance est survenue peu après l'invasion de l'Ukraine par la Russie, ajoutant une dimension poignante à son succès. Aujourd'hui, Viazovska continue de faire parler d'elle grâce à une collaboration novatrice entre l'intelligence artificielle et les mathématiciens, qui a permis de vérifier formellement ses preuves. Liam Fowl, un expert en raisonnement IA de l'Université de Princeton, souligne l'importance de ces avancées, bien qu'il ne soit pas directement impliqué dans le projet.
Le défi de l'empilement de sphères
Les recherches de Viazovska, qui lui ont valu la Médaille Fields, se concentrent sur le problème complexe de l'empilement de sphères. Ce problème mathématique cherche à déterminer comment disposer des sphères identiques de manière optimale dans un espace à plusieurs dimensions. En deux dimensions, la solution est le motif en nid d'abeille, tandis qu'en trois dimensions, une disposition pyramidale est la plus efficace. Cependant, au-delà de ces dimensions, la complexité augmente considérablement. En 2016, Viazovska a résolu ce problème pour les espaces à huit et vingt-quatre dimensions. Elle a démontré que l'arrangement E8 est optimal en huit dimensions, tandis que le réseau de Leech l'est en vingt-quatre dimensions, en utilisant des formes (quasi-)modulaires. Ces découvertes, bien que théoriques, ont des applications pratiques, notamment dans le domaine des codes de correction d'erreurs utilisés dans les technologies de communication.
La vérification formelle : un nouveau défi
Bien que les preuves de Viazovska aient été validées par la communauté mathématique, la vérification formelle par ordinateur représente un défi distinct. Depuis 2022, des progrès significatifs ont été réalisés dans ce domaine, notamment grâce à l'assistance de l'intelligence artificielle. Liam Fowl décrit la vérification formelle comme un "tampon en caoutchouc", une certification qui garantit que les raisonnements sont corrects.
Une rencontre qui change tout
Une rencontre inattendue entre Sidharth Hariharan, alors étudiant, et Viazovska a ravivé l'intérêt pour la formalisation des preuves d'empilement de sphères. Hariharan, bien qu'encore en début de carrière, s'était déjà distingué dans l'art de formaliser des preuves. Il a expliqué à Viazovska comment la formalisation l'aidait à mieux comprendre les concepts mathématiques. Intriguée, Viazovska a exprimé son intérêt pour la formalisation de ses propres travaux. Cette interaction a conduit à la création du projet "Formalising Sphere Packing in Lean" en mars 2024. Lean est un langage de programmation qui permet de vérifier l'exactitude des preuves mathématiques par ordinateur.
Une équipe s'est formée pour créer un plan détaillé des éléments de la preuve en huit dimensions, identifiant ceux qui nécessitaient encore une formalisation. Le projet a été construit pendant environ 15 mois avant d'être ouvert au public en juin 2025. C'est alors que Math, Inc. a fait son apparition.
L'intervention de l'IA avec Math, Inc.
Math, Inc., une startup innovante, développe Gauss, une IA conçue pour automatiser la formalisation des preuves. La startup a d'abord fait la une des journaux lorsqu'elle a annoncé que Gauss avait complété une formalisation Lean du théorème des nombres premiers forts en seulement trois semaines. Math, Inc. a ensuite contacté Hariharan et son équipe pour leur annoncer que Gauss avait prouvé plusieurs éléments de leur projet d'empilement de sphères. "Ils ont résolu 30 'sorrys', des faits intermédiaires que nous devions prouver," explique Hariharan. Cette collaboration a permis de corriger une faute de frappe dans le projet, illustrant l'efficacité de l'IA dans ce domaine.
Vers de nouvelles dimensions
L'impact de l'IA sur la vérification des preuves mathématiques est indéniable, ouvrant de nouvelles perspectives pour la recherche scientifique. Les collaborations entre mathématiciens et IA, comme celle entre Viazovska et Math, Inc., illustrent le potentiel de ces technologies pour transformer la recherche scientifique. En automatisant certaines tâches complexes, l'IA libère les chercheurs pour qu'ils se concentrent sur des aspects plus créatifs et innovants de leur travail.
Un avenir prometteur pour la collaboration IA-humains
L'avenir de la collaboration entre l'IA et les mathématiciens semble prometteur. Les avancées réalisées par des startups comme Math, Inc. montrent que l'IA peut jouer un rôle crucial dans la résolution de problèmes mathématiques complexes. En combinant la puissance de calcul des machines avec l'intuition humaine, il est possible d'atteindre de nouveaux sommets dans la recherche scientifique. Les projets futurs pourraient bénéficier de ces synergies, ouvrant la voie à des découvertes encore plus révolutionnaires dans le domaine des mathématiques et au-delà.
