OpenAI défie Erdős : une IA résout un problème mathématique historique

Une avancée mathématique inédite grâce à l'IA d'OpenAI

Un modèle de raisonnement développé par OpenAI a récemment réussi à réfuter une conjecture posée par le célèbre mathématicien hongrois Paul Erdős en 1946. Cette avancée a été validée par neuf mathématiciens indépendants, et le médaillé Fields Tim Gowers a estimé que le résultat était digne d'une publication dans une grande revue scientifique.

Le modèle a abordé le problème en s'éloignant du domaine initial de la géométrie pour explorer la théorie des nombres algébriques, une approche inattendue mais fructueuse. Erdős cherchait à déterminer combien de paires de points pouvaient rester à la même distance sur un plan, en posant une borne supérieure conjecturale. OpenAI a dépassé cette limite en découvrant une famille infinie d'arrangements, avec un gain chiffré par Will Sawin de Princeton à un exposant d'environ 0,014.

Un modèle généraliste au service des mathématiques

Ce qui rend cette réalisation d'autant plus remarquable, c'est que le modèle utilisé par OpenAI n'a pas été spécifiquement entraîné pour les mathématiques. Il s'agit du même type de modèle qui peut rédiger des courriels ou produire du code Python. Sebastian Bubeck et Noam Brown, chercheurs chez OpenAI, ont souligné que ce modèle n'a rien à voir avec AlphaProof de Google DeepMind, qui est conçu pour la démonstration formelle.

Le modèle a su écarter les pistes classiques pour se concentrer sur une approche novatrice, exploitant des nombres algébriques de degré élevé pour construire un contre-exemple. Le raisonnement complet, qui s'étend sur 125 pages, a été initialement accueilli avec scepticisme par Sebastian Bubeck, tant il semblait prometteur.

Supervision et validation par des experts

Malgré l'autonomie du modèle, trois chercheurs d'OpenAI ont assuré la supervision et la vérification du processus. Lijie Chen a dirigé le modèle, tandis que Mark Sellke et Mehtaab Sawhney ont vérifié la correction du raisonnement. Sellke et Sawhney sont tous deux des mathématiciens reconnus, ayant remporté des distinctions prestigieuses dans le domaine.

Cependant, certains relecteurs ont exprimé des réserves, car aucun examinateur extérieur n'a consulté la sortie brute du modèle. La version publiée a été éditée et retravaillée avec l'aide de Codex pour l'exposition. OpenAI maintient que le fichier de preuve a été généré sans intervention humaine sur le contenu mathématique.

Un précédent et des perspectives

OpenAI avait déjà rencontré des difficultés en octobre 2025, lorsque Kevin Weil, ancien vice-président de l'entreprise, avait annoncé à tort que GPT-5 avait résolu dix problèmes d'Erdős. Cette fois, Thomas Bloom, qui avait critiqué l'annonce précédente, cosigne le papier de vérification, soulignant l'importance de cette réalisation.

Bien que la conjecture ait été réfutée, la valeur exacte du maximum reste inconnue, et la meilleure borne supérieure connue demeure celle de Szemerédi. Le processus de relecture par les pairs prendra encore plusieurs mois, mais Tim Gowers a exprimé sa confiance en la qualité du travail pour une publication dans les Annals of Mathematics.

Les détails de la preuve et l'implication des mathématiciens

Dans son raisonnement, le modèle a écarté plusieurs pistes classiques, allant des racines de l'unité aux puissances d'un point rationnel du cercle. Le basculement décisif est venu d'une remarque inattendue : tout arrangement optimal peut être décrit avec des nombres algébriques, bien que cela implique un degré gigantesque. Le modèle a perçu dans ce degré élevé une opportunité pour un contre-exemple, là où d'autres n'y auraient vu qu'une complication.

Sebastian Bubeck a confié que la première sortie du modèle semblait trop belle pour être vraie. Le résumé du raisonnement s'étend sur 125 pages, ce qui témoigne de la complexité et de la profondeur de l'analyse effectuée par l'IA.

La vérification et les réserves des experts

D'après OpenAI, jamais une IA n'avait résolu seule un problème ouvert de cette importance. Cependant, l'autonomie des modèles de langage a ses limites. Trois chercheurs ont joué un rôle clé en tant que garde-fous. Lijie Chen a piloté le modèle interne, tandis que Mark Sellke et Mehtaab Sawhney ont vérifié la correction. Tous trois sont des figures reconnues dans le domaine des mathématiques, avec des distinctions telles que le prix Morgan et des médailles aux Olympiades internationales de mathématiques.

Plusieurs relecteurs ont émis des réserves, soulignant qu'aucun examinateur extérieur n'a eu accès à la sortie brute du modèle. La version diffusée a été éditée et retravaillée avec Codex pour l'exposition. OpenAI affirme néanmoins que le fichier de preuve a été généré en une seule fois, sans intervention humaine sur le contenu mathématique.

Dans le papier compagnon, les neuf mathématiciens ont rattaché les idées à des références comme Ellenberg-Venkatesh, Golod-Shafarevich et Hajir-Maire-Ramakrishna, que le modèle ne cite pas directement. Will Sawin a même simplifié l'argument après lecture, en ramenant la construction à un seul nombre premier rationnel.

Un précédent et des perspectives

OpenAI avait déjà trébuché sur ce terrain en octobre 2025. À l'époque, l'ancien vice-président de l'entreprise Kevin Weil avait annoncé que GPT-5 avait résolu dix problèmes d'Erdős, alors que le modèle avait simplement retrouvé des solutions déjà publiées. Thomas Bloom, qui tient le site recensant les problèmes d'Erdős, avait dénoncé cette déformation des faits, et Weil avait retiré son message. Cette fois, Bloom cosigne le papier de vérification, affirmant qu'aucune IA n'avait jamais accompli une telle performance en mathématiques.

Erdős attachait une grande importance à ses questions favorites, offrant 500 dollars à quiconque résoudrait cette borne supérieure, soit environ 430 euros. Le modèle a réfuté la conjecture, mais la valeur exacte du maximum reste inconnue, et la meilleure borne supérieure connue demeure celle de Szemerédi.

Des équipes extérieures au panel initial de relecteurs liront la preuve dans les prochaines semaines, tandis que le processus complet de relecture par les pairs prendra des mois. Tim Gowers a écrit qu'un rapporteur des Annals of Mathematics accepterait le texte sans hésiter, mais la preuve n'a pas encore été soumise à cette revue.